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동전이 앞면이 나올 확률을 <math display="inline">p</math>, 뒷면이 나올 확률을 <math>q(=1-p)</math>라 할 때, <math display="inline">h</math>회 앞면, <math display="inline">t</math>회 뒷면이 나올 확률은 다음과 같다. | |||
<math display="block">P\left(\mathrm{H}=h,\mathrm{T}=t\right) = {}_{h+t}C_{h}p^{h}q^{t}</math> | |||
<math display="inline">p=q=1/2</math> 인 공정한 상황에 대해서는 甲이 28회 이상 설거지를 할 확률을 계산하면 다음과 같다.<math display="block">\left. \sum_{h=28}^{40} P\left(\mathrm{H}=h,\mathrm{T}=t\right) \right|_{h+t=40} = \sum_{h=28}^{40} {}_{40}C_{h}\frac{1}{2^{40}} = 0.00829 </math>0.8% 정도에 불과하다는 것을 알 수 있다. | |||
<math display="inline">p=q=1/2</math> 인 공정한 상황에 대해서는 甲이 28회 이상 설거지를 할 확률을 계산하면 다음과 같다.<math display="block">\left. \sum_{h=28}^{40} P\left(\mathrm{H}=h,\mathrm{T}=t\right) \right|_{h+t=40} = \sum_{h=28}^{40} {}_{40}C_{h}\frac{1}{2^{40}} = 0.00829 </math>0.8% 정도에 불과하다는 것을 알 수 있다. | |||
통계학에서, 이항분포에서의 표준오차 <math display="inline">s_p</math>는 다음과 같이 주어진다.<math display="block">s_p = \sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}} ~(\text{when}~p=q=\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{40}}~(\text{when}~n=40) = 0.0791</math> | |||
현재까지 의 통계로 계산된 <math>p_{\mathrm{trial}}=\frac{28}{40}=0.7</math> 이고, <math display="inline">s_p</math>에 의한 Z 스코어는 이론적 <math>p_{\mathrm{theory}}</math> 값인 <math>\frac{1}{2}=0.5</math> 에 대해 다음과 같이 계산한다. | |||
<math display="block">Z=\frac{p_\mathrm{trial}-p_\mathrm{theory}}{s_p} = 2.52982</math> | |||
<math>Z</math> 스코어를 <math>p</math> 값으로 바꾸기 위해서는, 다음과 같은 계산을 거치면 된다. (<math display="inline">N\left[x|\mu=0, \sigma=1\right]</math>는 평균이 <math display="inline">\mu</math>이고, <math display="inline">\sigma^2 </math>이 분산인 정규분포) | |||
<math display="block">\int_{Z}^{\infty}{N\left[x|\mu=0, \sigma=1\right]}dx</math> | |||
<math>Z=2.59282</math>인 경우의 <math>p</math> 값을 계산하면, <math>0.00571 </math>로, <math>0.571\% </math>의 확률로 <math display="inline">p=q=1/2</math>라는 뜻이 된다. <s>동전에 거의 사기쳤다는 뜻</s> | |||
==절대적으로 공정한 동전던지기== | ==절대적으로 공정한 동전던지기== | ||