동전 던지기

공정성

동전 던지기는 현실에서는, 당연히 공정하지 않다. 동전 던지기는 독립 베르누이 시행을 했을 때, 앞면 또는 뒷면이 나올 확률이 $1/2$ 인 시행을 뜻하며 이러한 것의 전제는, 앞면과 뒷면의 물리적 상태가 완벽히 동일하다는 가정이 있어야 한다. 간단히 생각할 수 있는 전제로는, 질량 분배가 한쪽으로 치우치지 않아야 하며 양 표면이 완전히 동일하여 공기 저항 또한 동일하게 받아야 한다. 완전이 공정한 동전은 제작할 수 없다는 것이 맞으나, 일반적인 인간으로서는 해당 사항에 대해 알 수 있는 바가 없고, 동전을 던질 때에는 동전의 상태 뿐만 아닌 외부 요인이 다량으로 적용되어 무작위라 받아들임직하다. 교육적인 예시나, 일반적인 무작위 채택에서 동전 던지기를 자주 사용한다.

500원 동전 돌리기

500원 동전을 던지는 것이 아닌 팽이와 같이 돌렸을 때, 앞면 또는 뒷면이 나올 확률은 공정하지 않다고 밝혀진 바 있다. 그림면이 위쪽으로 간 채로 넘어질 확률이 현저히 높으며, 이는 KBS2 스펀지 85회에서 실험한 바 있다. 그림 면에 그려진 학의 무늬에 의한 공기 저항이 숫자면의 공기저항보다 더 커서 그럴 것으로 예상하였다.

동전은 던진 면으로 더 많이 떨어지는 것 같다

Fair coins tend to land on the same side they started: Evidence from 350,757 flips (2023년 10월 6일 ArXiv submitted) https://arxiv.org/abs/2310.04153

48명의 사람이 46종류의 동전(서로 다른 화폐종 포함)을 총 350,757번 던져서 확인해봤더니 사람에 따라 다르긴 한데 뭐라고 p=0.508 CL95%=[0.506, 0.509] 로 0.5에서 약간 비껴나있더라…

공정성 판별

• 甲(갑)과 乙(을)은 동전 던지기를 하여 설거지를 누가할 지 정하기로 했습니다.
• 매번 같은 동전으로 동전던지기를 하며, 앞면일 때 甲이, 뒷면일 때 乙이 하기로 했습니다.
• 한달이 지났고, 40회 동전을 던져 28번 甲 이 설거지를 했습니다.
• 甲은, 설거지를 꽤 많이 한 것 같아, 혹시나 乙이 동전에 조작을 가하지 않았나 의심하고 있습니다.
• 甲은 이 사실에 대해 증명해보기로 했습니다. 동전 던지기를 해서 앞면이 더 많이 나오는 것이 확실한지, 어떻게 알 수 있을까요?

동전이 앞면이 나올 확률을 ${\textstyle p}$, 뒷면이 나올 확률을 $q(=1-p)$라 할 때, ${\textstyle h}$회 앞면, ${\textstyle t}$회 뒷면이 나올 확률은 다음과 같다.

$$P\left(\mathrm {H} =h,\mathrm {T} =t\right)={}_{h+t}C_{h}p^{h}q^{t}$$

${\textstyle p=q=1/2}$ 인 공정한 상황에 대해서는 甲이 28회 이상 설거지를 할 확률을 계산하면 다음과 같다.

$$\left.\sum _{h=28}^{40}P\left(\mathrm {H} =h,\mathrm {T} =t\right)\right|_{h+t=40}=\sum _{h=28}^{40}{}_{40}C_{h}{\frac {1}{2^{40}}}=0.00829$$

0.8% 정도에 불과하다는 것을 알 수 있다.

본 사실에 대해 의심한 甲은, 더 확실한 증거를 위해 ${\textstyle p=q=1/2}$일 확률을 구해보기로 한다.

통계학에서, ${\textstyle p=q=1/2}$인 이항분포에서의 표준오차 ${\textstyle s_{p}}$는 다음과 같이 주어진다. ${\textstyle s_{p}={\sqrt {s/n}}}$ (${\textstyle s}$: 모분포의 표준편차, ${\textstyle n}$: 표본수)

$$s_{p}={\sqrt {\frac {p\left(1-p\right)}{n}}}={\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}~({\text{when}}~p=q={\frac {1}{2}})={\frac {1}{2{\sqrt {40}}}}~({\text{when}}~n=40)=0.0791$$

현재까지의 통계로 계산된 $p_{\mathrm {trial} }={\frac {28}{40}}=0.7$ 이고, ${\textstyle s_{p}}$에 의한 Z 스코어는 이론적 $p_{\mathrm {theory} }$ 값인 ${\frac {1}{2}}=0.5$ 에 대해 다음과 같이 계산한다.

$$Z={\frac {p_{\mathrm {trial} }-p_{\mathrm {theory} }}{s_{p}}}=2.52982$$

$Z$ 스코어를 $p$ 값으로 바꾸기 위해서는, 다음과 같은 계산을 거치면 된다. (${\textstyle N\left[x|\mu ,\sigma \right]}$는 평균이 ${\textstyle \mu }$이고, ${\textstyle \sigma ^{2}}$이 분산인 정규분포)

$$\int _{Z}^{\infty }{N\left[x|\mu =0,\sigma =1\right]}dx$$

$Z=2.59282$인 경우의 $p$ 값을 계산하면, $0.00571$로, $0.571\%$의 확률로 ${\textstyle p=q=1/2}$라는 뜻이 된다. 동전에 거의 사기쳤다는 뜻

절대적으로 공정한 동전던지기

이 방법은 폰 노이만이 만든 방법으로, 두 선택지의 확률을 같도록 하여 앞면 또는 뒷면이 선택될 확률을 같게 만듭니다.

1. 동전을 2회 던집니다.
2. 두 번 모두 같은 면이 나왔으면, 결과를 버리고, (1)로 돌아가 다시 던집니다.
3. 서로 다른 면이 나왔을 경우, 첫번째 던진 결과를 사용합니다.

앞면이 나올 확률을 $p$, 뒷면이 나올 확률을 $q(=1-p)$ 라고 할 때, 각 가짓수에 대한 확률은 다음과 같습니다.

두번 던졌을 때의 확률

	1회째에 앞면	1회째에 뒷면
2회째에 앞면	$p^{2}$ (재시도)	$pq$ (뒷면 채택)
2회째에 뒷면	$pq$ (앞면 채택)	$q^{2}$ (재시도)

앞면과 뒷면이 채택될 확률 모두가 $pq$ 가 되어 $p=1/2$ 가 아닌 상황에 대해서도 앞면 또는 뒷면을 공평하게 채택할 수 있습니다.

다른 방법

• 시리 또는 빅스비에, "동전 던지기" 또는 "Head or Tail" 등과 같이 명령을 내리면, "앞면/뒷면" 또는 "Head/Tail" 과 같이 무작위로 말해줍니다.
• 구글 검색에 "동전 던지기" 또는 "Coin Flip" 이라고 검색하면 "앞면/뒷면" 을 표시해줍니다.