히트 클러스터링

본 문서에서는 검출기 데이터 분석 과정 중의 히트 클러스터링에 대해 다룹니다.

개괄

히트 클러스터링은 검출기로부터 측정된 원초데이터(raw data)를 1차 분석하는 과정으로서, 이를 통해 여러 의미 있는 물리적 정보를 추출하는 과정입니다. 히트 클러스터링을 하여 물리적 정보를 측정하는 과정에 찾아낼 수 있는, 그리고 찾아내고자 하는 물리적 정보는 위치 정보이며, 위치 정보를 추출하는 과정에서 다른 사항에 찾아낼 수 있는 경우도 있습니다.

인접한 히트 찾기

거리 기준

인접한 히트를 찾을 때, 어느정도로 인접한 픽셀까지 하나의 클러스터로 볼 수 있는지에 대한 이야기가 있습니다. 픽셀 검출기에서, 떨어진 거리 없이 인접해야만 하나의 클러스터로 볼 수 있도록 할 수 있지만, 검출기와 그입자, 그리고 어떤 것까지 보느냐에 따라서 어떤 거리를 활용할 지 계산할 필요가 있습니다.

$L^{2}$ 거리 (Euclidean Distance)
- $D_{L^{2}}={\sqrt {\sum _{i}{\left(V_{i}-W_{i}\right)^{2}}}}$
- 일반적인 경우로 많이 활용됩니다.
- 제곱근 연산이 연산 시간을 일정 부분 차지할 수 있으므로, 거리보다는 거리의 제곱값으로 기준을 정하면 제곱근에 의한 연산을 하지 않을 수 있습니다.
$L^{1}$ 거리 (Manhattan-Taxicab Distance)
- $D_{L^{1}}=\left|\sum _{i}{\left(V_{i}-W_{i}\right)^{2}}\right|$
- $D=1$ (완전히 인접한 경우) 만 취득하고자 할 때 활용합니다. $L^{2}$ 거리의 경우 한번의 연산이 더 들어가기 때문에, 최대한 연산 횟수를 줄이려는 경우에 활용합니다.

Geodesics (Simple form)
- $D_{L^{2}}^{2}=\sum _{i,j}\eta _{ij}\left(V_{i}-W_{j}\right)^{2},\eta _{ij}=\left\lbrace {\begin{aligned}i=j=1:&-1\\i=j>1:&~~~1\\\mathrm {Otherwise} :&~~~0\end{aligned}}\right.$
- 측정이 연속적으로 일어나고, 시간창(Time Window)에 비해 신호가 사라지는 속도가 비교적 빠르지 않은 경우 이전 시간창에 있던 신호의 꼬리가 다음 시간창에 측정될 수 있습니다. 이 경우, 다음 시간창에 있는 히트도 이전 시간창과 함께 클러스터링 해야하는데, 이 때 geodesic 으로 시간거리를 고려하여 활용할 수 있습니다.

알고리즘

클러스터링에 쓰는 알고리즘은 다음과 같습니다. 이차원 다체 계산(2D n-body simulation)에서 상호작용을 하는 두 입자를 선택하는 알고리즘과 동일합니다.

Naive: $O\left(n^{2}\right)$
- 모든 픽셀에 대해 서로간의 거리를 측정하여 일정 거리 이하의 픽셀만 취하여 클러스터로 취급합니다.
Barnes Hut (Quad-Tree): $O\left(n\log n\right)$
- 전체 맵을 quadratic tree 로 구성하여서 인접한 픽셀을 바로 찾을 수 있는 트리로 구성한 후 계산

위치 추정

$n$ 개의 검출 지점 $X_{i}$ 위치의 좌표로부터 하나의 값 ${\textstyle V}$ 를 구하기 위해 다음 공식을 따르며, 이는 일반적으로 말하는 가중평균(무게중심법)과 같습니다.

V={\frac {\sum _{i=1}^{n}W_{i}X_{i}}{\sum _{i=0}^{n}W_{i}}}

가중값 $W_{i}$ 는 바이너리 픽셀 (ADC 값이 존재하지 않는 경우나, 신호 세기를 구별할 수 없는 경우) 1로 일괄 적용합니다. ADC 값이 있는 경우 그 값을 그대로 $W_{i}$ 로 적용하기도 하나, 신호 세기에 대한 반응 함수를 한번 적용한 값을 활용하기도 합니다. 이는 telescope 실험을 통해 검출기와 그 세팅별로 최적화되는 값 함수를 찾아야 합니다.

성능 측정

이슈

해상도 한계

일부 양자화(Quantize, Digitize)된 데이터가 있는 상태에서 그 표현이 충분히 자세하지 않은 경우가 있습니다. 다음과 같은 실험 배치의 경우 해당 사항이 있을 수 있습니다.

이진검출기(on-off 만 존재하여 $W_{i}=1$ 로 고정)이거나, $W_{i}$ 의 단계가 충분히 많지 않으면서,
검출 지점의 갯수 $n$ 이 비교적 적은 경우

핫 픽셀

핫 픽셀이 있는 경우, 해당 픽셀과 함께 묶인 클러스터는 해당 핫 픽셀을 포함해야할 수도 있고, 아닐 수도 있습니다.

전산 모사

기타 등등

트래킹 클러스터

참고

https://github.com/Isaac-Kwon/alpex

https://github.com/Isaac-Kwon/qupid

스트립 클러스터링